Transformação Z Média Móvel

Transformada em Z A transformada Z e a transformada Z avançada foram introduzidas (sob o nome da transformada Z) por E. I. Júri em 1958 em Sistemas de Controle de Dados Assentados (John Wiley amp Sons). A idéia contida na transformada Z já era conhecida como o método da função geradora. A transformada em Z é um nome de espaço reservado, semelhante ao chamar a transformada de Laplace a s-transform. Mais preciso seria Laurent transformar, porque é baseado na série Laurent. A transformada Z (unilateral) é para sinais discretos de domínio do tempo o que a transformação unilateral de Laplace é para sinais de domínio do tempo contínuo. Definição A transformada em Z, como muitas outras transformações integrais, pode ser definida como uma transformação de um lado ou de dois lados. Transformação Z bilateral A transformada Z bilateral ou dupla face de um sinal de tempo discreto xn é a função X (z) definida como onde n é um número inteiro e z é, em geral, um número complexo. Transformada Z unilateral Alternativamente, nos casos em que x n é definido apenas para n 8805 0, a transformada Z unilateral ou unilateral é definida como Processamento de sinal In. Esta definição é usada quando o sinal é causal. Um exemplo importante da transformada Z unilateral é a função geradora de probabilidade. Onde o componente xn é a probabilidade de uma variável aleatória discreta ter o valor n. E a função X (z) geralmente é escrita como X (s). Em termos de s z 87221. As propriedades das transformações em Z (abaixo) possuem interpretações úteis no contexto da teoria da probabilidade. Transformada Z inversa A Transformada Z inversa é um caso especial desta integral de contorno que é simplesmente que onde o círculo da unidade (e pode ser usado quando o ROC inclui o círculo da unidade) é a transformada de Fourier discreta inversa. . A transformada Z com uma gama finita de n e um número finito de valores z uniformemente espaçados pode ser calculada eficientemente através do algoritmo FFT Bluesteins. A transformada discreta de Fourier (DFT) é um caso especial de tal transformada Z obtida ao restringir z para se alinha no círculo da unidade. Região de convergência A região de convergência (ROC) é onde a transformada Z de um sinal tem uma soma finita para uma região no plano complexo. Exemplo 1 (Não ROC) Olhando para a soma Exemplo 2 (ROC causal) Olhando para a soma Exemplo 3 (ROC anticausal) Olhando para a soma Conclusão de exemplos Os exemplos 2 amplificador 3 mostram claramente que a transformada Z é única quando e somente quando Especificando o ROC. A criação do argumento pólo-zero para o caso causal e anticausal mostra que o ROC para ambos os casos não inclui o pólo que está em 0.5. Isso se estende para casos com múltiplos pólos: o ROC nunca contará com pólos. A estabilidade de um sistema também pode ser determinada conhecendo o ROC sozinho. Se o ROC contiver o círculo da unidade (isto é), o sistema é estável. Nos sistemas acima, o sistema causal é estável porque contém o círculo da unidade. Se você precisar de estabilidade, o ROC deve conter o círculo da unidade. Se você precisa de um sistema causal, então o ROC deve conter o infinito. Se você precisar de um sistema anticausal, o ROC deve conter a origem. Propriedades Tabela de pares de transformação Z comunsIntrodução para filtragem 9.3.1 Introdução à filtragem No campo do processamento de sinal, o design de filtros de sinais digitais envolve o processo de supressão de certas frequências e impulsionar outras. Um modelo de filtro simplificado é onde o sinal de entrada é modificado para obter o sinal de saída usando a fórmula de recursão. A implementação de (9-23) é direta e requer apenas valores iniciais e, em seguida, é obtida por iteração simples. Como os sinais devem ter um ponto de partida, é comum exigir isso e para. Enfatizamos esse conceito fazendo a seguinte definição. Definição 9.3 (Sequência Causal) Dada a sequência de entrada e saída. Se e para, a sequência é dita causal. Dada a sequência causal, é fácil calcular a solução para (9-23). Use o fato de que essas seqüências são causais: o passo iterativo geral é 9.3.2 Os Filtros Básicos Os seguintes três filtros básicos simplificados servem como ilustrações. (I) Zeroing Out Filter, (note que). (Ii) Boosting Up Filter, (note que). (Iii) Filtro combinado. A função de transferência para esses filtros modelo possui a seguinte forma geral onde as transformações z das seqüências de entrada e saída são e, respectivamente. Na seção anterior, mencionamos que a solução geral para uma equação de diferença homogênea é estável somente se os zeros da equação característica estiverem dentro do círculo da unidade. Da mesma forma, se um filtro é estável, os pólos da função de transferência devem estar todos dentro do círculo da unidade. Antes de desenvolver a teoria geral, gostaríamos de investigar a resposta de amplitude quando o sinal de entrada é uma combinação linear de e. A resposta de amplitude para a freqüência usa o sinal da unidade complexa, e é definida como sendo A fórmula para será explicada rigorosamente após alguns exemplos introdutórios. Exemplo 9.21. Dado o filtro. 9.21 (a). Mostre que é um filtro de zeramento para os sinais e calcula a resposta de amplitude. 9.21 (b). Calcule as respostas de amplitude e investigue o sinal filtrado para. 9.21 (c). Calcule as respostas de amplitude e investigue o sinal filtrado para. Figura 9.4. A resposta de amplitude para. Figura 9.5. A entrada e saída. Figura 9.6. A entrada e saída. Explore a Solução 9.21. Exemplo 9.22. Dado o filtro. 9.22 (a). Mostre que é um filtro de aumento para os sinais e calcula a resposta de amplitude. 9.22 (b). Calcule as respostas de amplitude e investigue o sinal filtrado para. Figura 9.7. A resposta de amplitude para. Figura 9.8. A entrada e saída. Explore a Solução 9.22. 9.3.3 A Equação de Filtro Geral A forma geral de uma equação de diferença de filtro de ordem é onde e são constantes. Observe cuidadosamente que os termos envolvidos são da forma e onde e, o que torna esses termos atrasados. A forma compacta de escrever a equação de diferença é onde o sinal de entrada é modificado para obter o sinal de saída usando a fórmula de recursão. A porção irá libertar sinais e impulsionar os sinais. Observação 9.14. Fórmula (9-31) é chamada de equação de recursão e os coeficientes de recursão são e. Ele mostra explicitamente que a saída atual é uma função dos valores passados, para, a entrada atual e as entradas anteriores para. As seqüências podem ser consideradas como sinais e são zero para índices negativos. Com esta informação, podemos agora definir a fórmula geral para a função de transferência. Usando a propriedade de tempo retardado para seqüelas causais e tomando a transformada z de cada termo em (9-31). Obtemos Podemos avaliar as somações e escrever isso de forma equivalente. Da equação (9-33) obtemos o que leva à seguinte definição importante. Definição 9.4 (Função de transferência) A função de transferência correspondente à equação de diferença de ordem (8) é dada pela Fórmula (9-34) é a função de transferência para um filtro de resposta de impulso infinito (filtro IIR). No caso especial em que o denominador é unidade, torna-se a função de transferência para um filtro de resposta de impulso finito (filtro FIR). Definição 9.5 (Resposta da amostra unitária) A sequência correspondente à função de transferência é chamada de resposta da amostra unitária. Teorema 9.6 (Resposta de saída) A resposta de saída de um filtro (10) dado um sinal de entrada é dada pela transformação inversa z e na forma de convolução é dada por Outro uso importante da função de transferência é estudar como um filtro afeta Várias frequências. Na prática, um sinal de tempo contínuo é amostrado em uma freqüência que é pelo menos duas vezes a maior freqüência do sinal de entrada para evitar a frequência dobrável ou aliasing. Isso ocorre porque a transformada de Fourier de um sinal amostrado é periódica com o período, embora não vamos provar isso aqui. Aliasing evita a recuperação precisa do sinal original de suas amostras. Agora, pode-se mostrar que o argumento da transformada de Fourier se mapeia no círculo da unidade do plano z pela fórmula (9-37), onde é chamada de freqüência normalizada. Portanto, a transformada z avaliada no círculo da unidade também é periódica, exceto com o período. Definição 9.6 (Resposta de amplitude) A resposta de amplitude é definida como a magnitude da função de transferência avaliada no sinal da unidade complexa. A fórmula é (9-38) ao longo do intervalo. O teorema fundamental da álgebra implica que o numerador tem raízes (chamado zeros) e o denominador tem raízes (chamados de pólos). Os zeros podem ser escolhidos em pares conjugados no círculo da unidade e para. Para a estabilidade, todos os pólos devem dentro do círculo da unidade e para. Além disso, os pólos são escolhidos para serem números reais e em pares conjugados. Isso garantirá que os coeficientes de recursão sejam todos números reais. Os filtros IIR podem ser todos pólo ou pólo zero e a estabilidade é uma preocupação com os filtros FIR e todos os filtros zero são sempre estáveis. 9.3.4 Design de filtros Na prática, a fórmula de recursão (10) é usada para calcular o sinal de saída. No entanto, o design do filtro digital é baseado na teoria acima. Começa selecionando a localização de zeros e pólos correspondentes aos requisitos de design do filtro e construindo a função de transferência. Como os coeficientes são reais, todos os zeros e pólos com um componente imaginário devem ocorrer em pares conjugados. Em seguida, os coeficientes de recursão são identificados em (13) e utilizados em (10) para escrever o filtro recursivo. Tanto o numerador quanto o denominador podem ser dados em fatores quadráticos com coeficientes reais e possivelmente um ou dois fatores lineares com coeficientes reais. Os princípios a seguir são usados ​​para construir. (I) Fatores de redução de zero Para filtrar os sinais e, use fatores da forma no numerador de. Contribuirão para o termo (ii) Aumentando os Fatores Para amplificar os sinais e usar fatores da forma